ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ НА БАЗЕ 11 КЛАССОВ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
На экзамене по математике абитуриент должен показать:
1) точное знание математических определений и теорем, которые предусмотрены программой,
умение доказывать теоремы; Программа по математике для поступающих в учреждения, обеспечивающие получение
среднего специального образования, на основе общего среднего образования состоит из
двух разделов.
Вопросы первого раздела (I. Основные математические понятия, факты, формулы и теоремы)
из абзацев, которые не отмечены звездочкой, представляет собой перечень основных
математических понятий и фактов, которыми должен владеть абитуриент: уметь правильно
формулировать определение, теоремы, использовать их при решении задач.
При этом на экзамене не требуется уметь доказывать теоремы, выводить формулы,
аргументировать факты из абзацев, не отмеченных звездочкой.
Вопросы первого раздела (I. Основные математические понятия, факты, формулы и теоремы)
из отмеченных звездочкой абзацев представляют собой перечень теорем и формул, которые должен
уметь доказывать и выводить абитуриент. Именно эти вопросы составляют теоретическую часть билета
устного или письменного экзамена по математике. При ответе необходимо дать определения всех
понятий, которые входят в вопросы билета, сформулировать и доказать теоремы, вывести
соответствующие формулы.
Во втором разделе (II. Основные умения и навыки) перечислены основные математические
умения и навыки, которыми должен владеть экзаменуемый.
Натуральные числа и нуль. Их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение
натуральных чисел. Квадрат и куб натурального числа. Простые и составные числа. Делитель,
кратное. Четные и нечетные числа.
Основные (неопределяемые) понятия геометрии : точка ,прямая , «лежать между»,плоскость.
Абитуриент должен уметь:
1.выполнять арифметические действия над числами, заданными в виде десятичных и обыкновенных
дробей; округлять с нужной точностью числа и результаты вычислений; пользоваться при подсчёте
калькулятором;
На экзамене по математике абитуриент должен показать:
Программа по математике для поступающих в учреждения, обеспечивающие получение среднего
специального образования состоит из двух разделов.
Вопросы первого раздела (I. Основные математические понятия, факты, формулы и теоремы) из
абзацев, которые не отмечены звездочкой, представляют собой перечень основных математических
понятий и фактов, которыми должен владеть абитуриент: уметь правильно формулировать определения,
теоремы, использовать их при решении задач. При этом на экзамене не требуется уметь доказывать
теоремы, выводить формулы, аргументировать фаты из абзацев, не отмеченных звездочкой.
Вопросы первого раздела (I. Основные математические понятия, факты, формулы и теоремы) из
отмеченных звездочкой абзацев представляют собой перечень теорем и формул, которые должен уметь
доказывать абитуриент. Именно эти вопросы составляют теоретическую часть билета устного или
письменного экзамена по математике. При ответе необходимо дать определения всех понятий, которые входят в вопросы билета, сформулировать и доказать теоремы вывести соответствующие формулы.
Во втором разделе (II. Основные умения и навыки) перечислены основные математические умения и
навыки, которыми должен владеть экзаменуемый.
2) умение точно и сжато выражать математическую мысль в устной и письменной форме,
использовать соответствующую символику;
3) уверенное владение математическими знаниями и навыками, которые предусмотрены
программой, умение применять их при решении задач.
1. Основные математические понятия, факты, формулы и теоремы
Арифметика, алгебра и начала анализа
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10.
Деление с остатком.
Разложение натурального числа на простые множители. Делитель общий, кратное общее.
Делитель общий наибольший, кратное общее наименьшее.
Целые числа. Противоположные числа. Действия над целыми числами.
Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная часть числа.
Основное свойство дроби. Сокращение обыкновенных дробей. Сравнение обыкновенных дробей.
Их сложение, вычитание, умножение и деление.
Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей. Сложение, вычитание, умножение и
деление десятичных дробей. Приближенное значение числа. Округление чисел.
Рациональные числа. Действия над рациональными числами. Иррациональные числа.
Действительные числа. Представление действительных чисел в форме десятичных дробей.
Числовая прямая. Изображение чисел на числовой прямой. Модуль действительного числа,
его геометрический смысл.
Проценты. Пропорции. Основные свойства пропорций. Прямая и обратная пропорциональность.
* Степень с натуральным и целым показателем. Свойства степеней с натуральным и целым
показателями.
* Числовые выражения. Алгебраические выражения. Тождественно равные выражения. Формулы
сокращенного умножения.
Одночлен и многочлен. Действия над многочленами. Разложения многочлена на множители.
Тождественные преобразования многочленов.
Алгебраическая дробь. Основное свойство дроби. Действия над алгебраическими дробями.
Тождественные преобразования рациональных выражений.
Корень n-й степени (n є N), его свойство для случаев четного и нечетного числа n.
Арифметический корень. Свойства арифметических корней.
* Степень с рациональным показателем. Свойство степеней с рациональными показателями.
Степень с действительным показателем.
* Уравнения. Корень уравнения. Равносильные уравнения. Линейные уравнения (аx=b).
Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения.
Приведенное квадратное уравнение.
* Теорема Виета (прямая и обратная).
* Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
Биквадратное уравнение. Решение биквадратных уравнений.
Решение рациональных уравнений.
Решение иррациональных уравнений.
Числовые последовательности.
* Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы первых n-х членов.
* Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы первых n-х членов.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
* Свойство числовых неравенств.
Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства.
Решение линейных неравенств.
* Квадратичные неравенства. Решение квадратичных неравенств.
Решение уравнений и неравенств, которые содержат переменную под знаком модуля.
Решение систем линейных и квадратных уравнений и неравенств.
Понятие функции. Область определения функции. Область значения функции.
Способы задания функции. График функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства.
Четность и нечетность функции. Периодичность функции. Возрастание и убывание функции.
Максимум и минимум функции.
* Расстояние между двумя точками координатной плоскости.
Уравнение окружности.
* Определение логарифма. Логарифм произведения, степени, частного.
Десятичные логарифмы. Натуральные логарифмы. Формула перехода от одного основания
логарифма к другому.
Тождественные преобразования выражений, содержащих логарифмы.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств.
* Зависимость между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
* Формулы приведения.
* Синус, косинус, тангенс двойного аргумента.
* Синус, косинус, тангенс половинного аргумента.
* Преобразование в произведение сумм sin(a)±sin(b), cos(a)±cos(b), tg(a)±tg(b).
Арксинус числа а.
Арккосинус числа а.
Арктангенс числа а.
* Решение простейших тригонометрических уравнений: sin(x)=a, cos(x)=a, tg(x)=a.
Решение тригонометрических уравнений, которые приводятся к простейшим.
* Свойство функции у =ax+b и ее график.
* Свойство функции у =k/x (где k не равно 0) и ее график.
* Свойство функции у =ax2+bx+c (где а не равно 0) и ее график.
* Свойство функции у =x1/2 и ее график.
Свойство функции у =axn (где а не равно 0, n є N) и ее график.
Свойство функции у =ax (где а>0, a не равно 1) и ее график.
* Свойство функции у =loga(x) (где а>0, a не равно 1) и ее график.
* Свойство функции у =sin(x) и ее график.
* Свойство функции у =cos(x) и ее график.
* Свойство функции у =tg(x) и ее график.
Геометрия
Луч ,отрезок ;угол ,вертикальные и смежные углы ;многоугольник ,его углы ,стороны и
диагонали .
Треугольник ,его медиана ,биссектриса ,высота .Прямоугольный ,остроугольный,
тупоугольный треугольники. Соотношения между сторонами и углами произвольного и
прямоугольного треугольников .
* Признаки равенства треугольников.
* Свойства равнобедренного треугольника.
* Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых.
Перпендикулярные прямые . перпендикуляр и наклонная.
* Признаки равенства треугольников
* Свойства равнобедренного треугольника .
* Параллельные прямые . Признаки параллельности прямых.
Перпендикулярные прямые .Перпендикуляр и наклонная .
Свойства серединного перпендикуляра .
Четырехугольники : параллелограмм ,прямоугольник ,ромб ,квадрат ,трапеция.
Теорема Фалеса .
* Теоремы о средней линии треугольника и трапеции .
* Свойства и признаки параллелограмма .
* Свойства прямоугольника ,ромба ,квадрата .
* Сумма углов треугольника. Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника.
Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус .Касательная к окружности и
её свойства. Дуга окружности .
* Окружность ,описанная около треугольника .
* Окружность ,вписанная в треугольник .
* Центральные и вписанные углы. Измерение центральных и вписанных углов .
Свойство секущих ,проведённых к окружности из одной точки .Свойство
пересекающихся хорд.
* Теорема синусов .
* Теорема косинусов.
Следствия из теорем синусов и косинусов (решение треугольников).
Движения плоскости : центральная и осевая симметрии, параллельный перенос, поворот.
Преобразование подобия .
* Признаки подобия треугольников .
Подобие прямоугольных треугольников . Свойства высоты ,проведённой из вершины
прямого угла прямоугольного треугольника .
* Теорема Пифагора и следствия из неё.
Формулы площадей квадрата и прямоугольника .
* Формулы площадей параллелограмма ,треугольника , ромба ,трапеции.
Правильный многоугольник . Окружность , описанная в правильный многоугольник
окружность ,описанная около правильного многоугольника ; формулы для вычисления их
радиусов .
Длина окружности . Радианная мера угла . Площадь круга .
* Длина дуги окружности . Площадь сектора ,сегмента.
Основные понятия стереометрии . Аксиомы стереометрии ,их связь
с аксиомами планиметрии.
Взаимное расположение прямых в пространстве .Свойства параллельности прямых .
Перпендикулярность прямых .
* Параллельность прямой и плоскости . Признак параллельности плоскости.
* Параллельные плоскости. Признак параллельности плоскостей.
Перпендикуляр и наклонная к плоскости ,проекция наклонной на плоскость.
Угол между прямой и плоскостью.
* Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Двугранные углы . Линейный угол двухгранного угла.
* Перпендикулярность двух плоскостей . Признак перпендикулярности двух плоскостей.
* Теорема о трёх перпендикулярах.
Многогранники: вершины, рёбра, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы.
Правильная призма. Параллелепипед . Пирамида . Правильная пирамида . Сечения шара плоскостью.
Плоскость, касательная к сфере.
Формулы площадей поверхностей и объёмов параллелепипеда, призмы, пирамиды, цилиндра,
конуса.
Формула площади сферы.
Формула объёма шара.
2. ОСНОВНЫЕ УМЕНИЯ И НАВЫКИ
2.проводить тождественные преобразования многочленов, рациональных выражений и выражений,
которые содержат степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции;
3. строить графики линейной, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической и
тригонометрических функций;
4. решать уравнения, системы уравнений и неравенств первой и второй степеней уравнения
и неравенства, которые приводят к ним; решать рациональные уравнения и неравенства;
5. решать текстовые задачи (включая задачи на проценты ) по действиям или методом
составления уравнений и их систем;
6. решать иррациональные уравнения;
7. решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства, их системы,
тригонометрические уравнения.
8. решать уравнения и неравенства, которые содержат переменную под знаком модуля;
9. решать уравнения, неравенства и системы с параметрами;
10. решать задачи на исследование функций и построение их графиков;
11. решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки;
12. строить изображения и сечения пространственных геометрических тел;
13. решать геометрические задачи на доказательство, на вычисление элементов
геометрических фигур (длин, площадей, объёмов, углов, тригонометрических функций углов ),
на вычисление расстояний (от точки до плоскости, между прямой и параллельной ей плоскостью,
между параллельными плоскостями );
14. решать задачи, связанные с комбинациями призмы и пирамиды с телами вращения;
15. использовать методы алгебры, тригонометрии при решении геометрических задач.
ПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ НА БАЗЕ 9 КЛАССОВ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
1) точное знание математических определений и теорем, которые предусмотрены программой,
умение доказывать теоремы;
2) умение точно и сжато выражать математическую мысль в устной и письменной форме,
использовать соответствующую символику;
3) уверенное владение математическими знаниями и навыками, который предусмотрены
программой, умение применять их при решении задач.
I. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ, ФАКТЫ, ФОРМУЛЫ И ТЕОРЕМЫ
Арифметика и алгебра
Натуральные числа и нуль. Их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение натуральных чисел. Квадрат и куб натурального числа. Простые и составные числа. Делитель, кратное. Четные и нечетные числа.
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10.
Деление с остатком.
Разложение натурального числа на простые множители. Делитель общий наибольший, кратное
общее наименьшее.
Целые числа. Противоположные числа. Действия над целыми числами.
Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Целая и дробная части числа.
Основное свойство дроби. Сокращение обыкновенных дробей. Сравнение обыкновенных дробей.
Их сложение, вычитание, умножение, деление.Десятичные дроби. Сравнение десятичных дробей.
Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Приближенное значение числа.
Округление чисел.
Рациональные числа. Действия над рациональными числами.
Иррациональные числа. Действительные числа. Представление действительных чисел в форме
десятичных дробей. Числовая прямая. Изображение чисел на числовой прямой. Модуль действительного
числа, его геометрический смысл.
Проценты. Пропорции. Основные свойства пропорций. Прямая и обратная пропорциональность.
* Степень с натуральным и целым показателями. Свойства степеней с натуральным и целым
показателями.
* Числовые выражения. Выражения с переменной. Тождественно равные выражения.
Формулы сокращенного умножения
Одночлен и многочлен. Степень одночлена. Многочлен с одной переменной. Сложение вычитание
и умножение многочленов. Тождественные преобразования многочленов.Алгебраическая дробь.
Основное свойство дроби. Действия над алгебраическими дробями. Тождественные преобразования
рациональных выражений.
* Квадратное уравнение. Арифметический квадратный корень. Арифметический квадратный
корень из произведения, частного и степени.
* Уравнения. Корень уравнения. Равносильные уравнения. Линейное уравнение ax=b.
* Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения.Приведенное кратное уравнение/
* Теорема Виета (прямая и обратная).
* Разложения квадратного трехчлена на линейные множители.Биквадратное уравнение.
Решение биквадратных уравнений.
Решение рациональных уравнений.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и их решения. Геометрическая интерпретация решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Решение систем квадратных уравнений.>
* Свойства числовых неравенств.
* Неравенство с одной переменной. Равносильные неравенства.
Решение линейных неравенств.
* Квадратичное неравенство.
Решение квадратичных неравенств
(ax2 + bx + c >0, ax2 + bx + c <0, ax2 + bx + c >= 0,
ax2 + bx + c <= 0, где а не равно 0).
Решение систем линейных неравенств с одной переменной.
Уравнения и неравенства, содержащие переменную под знаком модуля.
* Расстояния между двумя точками координатной плоскости. Уравнение окружности.
Понятие функции. Область определения функции. Область значения функции. Способы
задания функции график функции. Возрастание и убывание функции. Четность и нечетность
функции. Точки пересечения графика функции с осями координат.
·Свойства функции y = kx (k не равно 0) и ее график.
·Свойства функции y = ax + b и ее график.
·Свойства функции y = k/x (где k не равно 0) и ее график.
·Свойства функции y = x2 , y = ax2, y = ax2+t,
y = a(x-s)2, y = a(x-s)2 +t, y = ax2+bx +c (где a не равно 0) и их график.
·Свойства функции y = x3 и ее график.
·Свойства функции y = IxI и ее график.
·Свойства функции y = x1/2 и ее график.
Геометрия
1. Основные (неопределяемые) понятия геометрии: точка, прямая, "лежать между", плоскость.
2. Луч, отрезок; угол, вертикальные и смежные углы; многоугольник, его углы, стороны и диагонали.
3. Треугольник, его медиана, биссектриса, высота. Прямоугольный, остроугольный, тупоугольный треугольники. Соотношения между сторонами и углами произвольного и прямоугольного треугольников.
4. Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
5. Теорема Фалеса.
6. Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус. Дуга окружности.
7. тригонометрические функции острого угла. Значение тригонометрических функций для углов 30, 45, 60 градусов.
8. Тригонометрические функции угла от 0 до 180 градусов. Основные тригонометрические тождества: sin2a+cos2a=1; tg(a)сtg(a)=1.
9. Cледствие из теоремы синусов и косинусов (решение треугольников).
10. Движения плоскости: центральная и осевая симметрии, параллельный перенос, поворот.
11. Преобразование подобия. Примеры преобразования фигур.
12. Правильный многоугольник. Окружность, вписанная в правильный многоугольник: окружность,
описанная около правильного многоугольника; формулы для вычисления их радиусов.
13. Длина окружности, дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга, сектора, сегмента.
14. Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки.
II. Основные умения и навыки
Абитуриент должен уметь:
1. Выполнять арифметические действия над числами, заданными в форме десятичных и обыкновенных дробей; округлять с необходимой точностью числа и результаты вычислений; пользоваться при подсчете калькулятором;
2. Проводить тождественные преобразования многочленов, рациональных выражений, выражений со степенями и корнями;
3. Строить графики функций, предусмотренных программой;
4. Решать рациональные уравнения;
5. Решать уравнения, системы уравнений и неравенства первой и второй степени, уравнения и неравенства, которые приводятся к ним;
6. Решать текстовые задачи (включая задачи на %) по действиям или методом составления уравнений и их систем;
7. Использовать методы алгебры при решении геометрических задач;
8. Решать задачи на построение с помощью циркуля и линейки;
9. Решать геометрические задачи на доказательство и на вычисление элементов геометрических фигур (длин, площадей, углов).
